Álgebra lineal Ejemplos

$[\begin{array}{c} 2 & 2 & 1 \\ - 3 & 1 & 0 \\ 1 & - 1 & 2 \end{array}]$

Paso 1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $2$ by its cofactor and add.

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Paso 1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Paso 1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Paso 1.3

The minor for $a_{21}$ is the determinant with row $2$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 2 & 1 \\ - 1 & 2 \end{array} |$

Paso 1.4

Multiply element $a_{21}$ by its cofactor.

$3 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ - 1 & 2 \end{array} |$

Paso 1.5

The minor for $a_{22}$ is the determinant with row $2$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{array} |$

Paso 1.6

Multiply element $a_{22}$ by its cofactor.

$1 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{array} |$

Paso 1.7

The minor for $a_{23}$ is the determinant with row $2$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 2 & 2 \\ 1 & - 1 \end{array} |$

Paso 1.8

Multiply element $a_{23}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 2 & 2 \\ 1 & - 1 \end{array} |$

Paso 1.9

Add the terms together.

$3 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ - 1 & 2 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 2 & 2 \\ 1 & - 1 \end{array} |$

Paso 2

Multiplica $0$ por $| \begin{array}{c} 2 & 2 \\ 1 & - 1 \end{array} |$ .

$3 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ - 1 & 2 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{array} | + 0$

Paso 3

Evalúa $| \begin{array}{c} 2 & 1 \\ - 1 & 2 \end{array} |$ .

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Paso 3.1

El determinante de una matriz $2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$3 (2 \cdot 2 - (- 1 \cdot 1)) + 1 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{array} | + 0$

Paso 3.2

Simplifica el determinante.

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Paso 3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.1.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$3 (4 - (- 1 \cdot 1)) + 1 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{array} | + 0$

Paso 3.2.1.2

Multiplica $- (- 1 \cdot 1)$ .

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Paso 3.2.1.2.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$3 (4 - - 1) + 1 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{array} | + 0$

Paso 3.2.1.2.2

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$3 (4 + 1) + 1 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{array} | + 0$

Paso 3.2.2

Suma $4$ y $1$ .

$3 \cdot 5 + 1 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{array} | + 0$

Paso 4

Evalúa $| \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{array} |$ .

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Paso 4.1

El determinante de una matriz $2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$3 \cdot 5 + 1 (2 \cdot 2 - 1 \cdot 1) + 0$

Paso 4.2

Simplifica el determinante.

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Paso 4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.1.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$3 \cdot 5 + 1 (4 - 1 \cdot 1) + 0$

Paso 4.2.1.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$3 \cdot 5 + 1 (4 - 1) + 0$

Paso 4.2.2

Resta $1$ de $4$ .

$3 \cdot 5 + 1 \cdot 3 + 0$

Paso 5

Simplifica el determinante.

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Paso 5.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.1.1

Multiplica $3$ por $5$ .

$15 + 1 \cdot 3 + 0$

Paso 5.1.2

Multiplica $3$ por $1$ .

$15 + 3 + 0$

Paso 5.2

Suma $15$ y $3$ .

$18 + 0$

Paso 5.3

Suma $18$ y $0$ .

$18$